17) Probabilités

Cette branche des mathématiques mesure et prédit la probabilité que certains résultats surviennent. C'est tant une application de la théorie des ensembles qu'une théorie entièrement nouvelle. Une manière d'aborder les probabilités est de traiter une série de résultats possibles comme des éléments d'un ensemble.

Prenons le cas d'une pièce de monnaie ordinaire lancée trois fois en l'air.

L'ensemble de tous les résultats possibles est représenté par des éléments formés de trois lettres, une par lancée, avec F pour face et P pour pile.
Cet ensemble a huit éléments {PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF}
Comme un de ces résultats surviendra sans faute, la somme de toutes les probabilités doit être 1; si la pièce est une pièce ordinaire et si chaque résultat est également probable, dans chaque cas la probabilité est 1/8.
On peut répondre à des questions plus compliquées sur les probabilités en tenant des résultats spécifiques pour des ensembles qui sont à leur tour des sous-ensembles de l'ensemble précédent de tous les résultats possibles.
Par exemple, on peut voir immédiatement que l'ensemble des résultats avec exactement deux Faces contient trois éléments, et présente donc une probabilité de 3/8.
Qu'en est-il de la probabilité qu'une pièce lancée tombe exactement face, étant donné qu'au moins une pièce lancée est tombée pile ? Si on sait qu'au moins une pièce lancée tombe pile, on peut limiter l'ensemble de résultats à : {PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP}
Deux des sept éléments de cet ensemble sont face, la probabilité est donc 2/7